QUANDO LA TEMPERATURA SCENDE SOTTO LO ZERO… I NUMERI INTERI RELATIVI

“Il relitto è stato trovato a 40 metri sotto il livello del mare“

“La temperatura è scesa a 5 gradi sotto lo zero“

“Il mio conto in banca è andato in rosso“

Si possono fare numerosi altri  esempi in cui si può notare che risulta necessario introdurre nuovi numeri per studiare situazioni del tipo:

sotto/sopra, debito/credito , prima/dopo.

Consideriamo per esempio la seguente situazione:

In un estratto conto bancario, nei movimenti contabili compaiono 4 colonne: Data, Valuta, Importo euro, Descrizione dell’operazione:

Data	Valuta	Importo Euro	Operazione
		130,00-	Assegno
		1360,00+	Stipendio
		69,00-	Prelev. Bancomat
		882,00-	Assegno
		463,00+	Bonifico

Se osserviamo la terza colonna vediamo che alcuni numeri sono seguiti dal segno + , altri dal segno - .

Leggendo la descrizione dell’ operazione relativa ad un numero con il segno + si può notare che questa  è  stipendio oppure bonifico; il numero riportato è un accredito che viene fatto sul conto, cioè una quantità da aggiungere al conto. Se invece leggiamo la descrizione dell’ operazione relativa ad un numero con il segno - , puoi notare che abbiamo un assegno o un prelevamento bancomat, cioè il numero riportato è un addebito che viene fatto sul conto, cioè una quantità da sottrarre al conto.

Può accadere che “il conto vada in rosso“, cioè che sia stato prelevato più denaro di quello disponibile.

Come determinare di quanto siamo andati “in rosso“?

Oppure…

Un termometro segna una temperatura di 4 gradi sopra lo zero: 4°C. Poi la temperatura scende di 6°C.

Quale sarà la nuova temperatura indicata dal termometro?

La situazione in essa rappresentata si può tradurre con l’ operazione 4 - 6 e il problema diventa quello di associare a tale operazione un risultato.

Nell’ insieme N dei numeri naturali questa operazione non è possibile, come puoi vedere nella figura:

In generale, ai termini dell’ operazione a – b = c diamo sulla retta numerica il seguente significato:

·        a indica il punto di partenza

·        il segno – indica uno spostamento in senso opposto all’ orientamento della retta (quindi da destra verso sinistra)

·        b indica le unità di tale spostamento

·        c rappresenta il punto di arrivo (risultato).

 

Quindi si può facilmente capire che per poter risolvere l’ operazione data bisogna assegnare un valore anche ai punti della retta  che si trovano a sinistra dello zero.

Torniamo ora alla retta orientata:

fissata l’ unità di misura, l’ origine e il verso, si può osservare che ad ogni numero naturale si possono associare due punti rispettivamente uno a destra e uno a sinistra dell’ origine, che indichiamo con il numero 0, raggiungibili con lo stesso numero di passi ciascuno di ampiezza uguale all’ unità di misura. Per poterli distinguere stabiliamo la seguente regola: si associa il segno + (positivo) ai numeri corrispondenti a punti che si trovano a destra dell’ origine e il segno – (negativo) a quelli corrispondenti a punti che si trovano a sinistra dell’origine.

In questo modo abbiamo ottenuto un nuovo insieme numerico, che indicheremo con Z (dall’ iniziale della parola tedesca “Zahl” che significa numero) e che chiameremo insieme dei numeri interi relativi.

Se ora riprendiamo il problema posto siamo in grado di trovare la temperatura cercata facendo sei passi (unità) verso sinistra a partire da +4.

Come puoi vedere la temperatura cercata è dunque –2.

Ogni elemento di Z, cioè ogni numero intero relativo si compone così di due parti:

·        il segno (+ oppure -)

·        il modulo o valore assoluto;

osserva in merito la tabella successiva:

Numero intero relativo	Segno	Modulo
+ 2	+	2
- 1	-	1
+ 5	+	5
- 7	-	7
- 5	-	5

 

ATTENZIONE

Lo zero non è né positivo né negativo: è l’elemento separatore tra i numeri positivi e quelli negativi.

Per convenzione il segno + dei numeri positivi può venire sottinteso , cioè +2 = 2 , +5 = 5 ,   quindi i numeri positivi coincidono col loro modulo,  al contrario il segno – non può mai essere sottinteso.

 

ALCUNE DEFINIZIONI…                                                  

 

Due numeri interi relativi si dicono

·        concordi se hanno lo stesso segno (per es. +3 e+5 , -2 e –8)  

·        discordi se hanno segno diverso (-2 e+3 , +8 e –1)

·        opposti quando sono discordi e hanno lo stesso modulo (per es. +4 e -4)

 

 

Un attimo di attenzione alle parole usate

                                

                                                               

 

 

 

 

 

                                                                                                         

Come si possono confrontare due o più numeri interi relativi cioè stabilire se sono uguali o, se no,quale è più grande?

      

                          Confronto tra numeri relativi

Passiamo ora alle operazioni con i numeri interi relativi.

Per cominciare osserviamo che: 

nell’ insieme Z le operazioni interne, cioè quelle che danno come risultato ancora un numero intero relativo, sono

·        l’ addizione

·        la sottrazione

·        la moltiplicazione

 

Addizione di numeri interi relativi
Sottrazione di numeri interi relativi
Moltiplicazione di numeri interi relativi
Divisione di numeri interi relativi
Potenza di numeri interi relativi
Convenzioni circa l'uso delle parentesi

 

 

Osserva che l’ aver ampliato l’ ambiente numerico da  N   a   Z   ci permette di individuare il risultato di ogni sottrazione fra numeri interi, mentre non è ancora possibile scrivere il risultato di tutte le divisioni fra numeri interi relativi.

 

E finalmente…andiamo a fare un po’ di pratica!

 

ESERCIZI CON I NUMERI INTERI RELATIVI  

 

ESPRESSIONI CON I NUMERI INTERI RELATIVI