Massimi e minimi d’una funzione di due variabili
Problemi introduttivi
Come
per le funzioni d’una sola variabile reale, anche per le funzioni di due
variabili č importante saper determinare i punti di massimo e minimo.
Esempio
Si
sa che la domanda d’un bene dipende dal suo prezzo.
Una
fabbrica che produce televisori e smartphone ha rilevato che le relazioni fra i
prezzi e le quantitŕ vendute sono le seguenti:
e 
,
dove x1 rappresenta la
domanda di televisori ed x2 quella
di smartphone e dove p1 e p2 sono i prezzi dei due
beni.
Supponiamo
che il costo per la produzione sia dato da
e 
,
per
cui il costo totale di produzione č:
Il
ricavo dell’azienda č dato dalla somma dei prodotti del prezzo di vendita di
ciascun bene, il tutto moltiplicato per la quantitŕ venduta, vale a dire:
.
Il
profitto dell’azienda č espresso dalla seguente relazione:
,
cioč 
.
Diventa
interessante studiare come varia il profitto in dipendenza dalle variabili x1 e x2 e stabilire se esiste qualche punto in cui tale
profitto diventa massimo.
I
termini “massimo” e “minimo” sono stati usati finora in modo intuitivo. Vediamo
di precisare meglio questi concetti.
Sia 
una funzione definita in un insieme D del piano. Si dice che un punto 
č un punto
di minimo relativo per f se esiste un intorno di P0 contenuto in D per tutti i punti del quale capita che 
.
Analogamente
Si dice che un punto č un punto di massimo relativo per f se esiste un intorno di P0 contenuto in D per tutti i punti del quale capita che
.
Si parla invece
di punto di minimo assoluto e di massimo assoluto se le relazioni sono
vere per ogni 
.
I punti di
massimo e di minimo vengono detti punti
stremanti della funzione.
Vediamo
come possiamo risolvere il problema della determinazione dei punti di massimo e
di minimo d’una funzione 
.
La determinazione dei punti di massimo e di minimo
Vi
sono diversi modi di determinare i punti di massimo e di minimo relativi d’una
funzione di due variabili; vediamo i principali:
Ricerca di Massimo e Minimo
mediante linee di livello
Il Metodo hessiano per la
ricerca dei punti di Massimo, Minimo e punti di sella