Massimi e minimi  vincolati di una funzione di 2 variabili

    

Un MASSIMO o MINIMO vincolato per una funzione di due variabili è un massimo o minimo da ricercarsi non su tutto il dominio ma all'interno del sottoinsieme del dominio che soddisfa l'equazione del vincolo, quindi graficamente è il massimo o il minimo relativo della curva ottenuta dall'intersezione del dominio con la curva del vincolo di equazione g(x, y) = 0.

 

Immagine correlata 

Immagine correlata

 

 

Immagine correlata

 

 

MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE DI  2 VARIABILI  CON VINCOLO ESPRESSO  DA UNA EQUAZIONE

 

Sia data la funzione z = f (x, y) con il vincolo g(x,y) = 0;

I metodi per la determinazione dei massimi e minimi vincolati sono tre:

(qui vedremo i due metodi più semplici; il terzo metodo, per chi volesse approfondire è quello dei moltiplicatori di Lagrange)

 

1) Riduzione a una funzione di una variabile.
Se la funzione che esprime il vincolo g(x,y)=0 è esplicitabile in modo semplice  rispetto a x o a y conviene esplicitarla e sostituire la variabile nella funzione f(x,y) riconducendosi così ad un problema di massimo o minimo in una sola variabile.
In pratica si esplicita il vincolo rispetto ad una variabile e si sostituisce nella funzione ottenendo, così, una funzione in una sola variabile.

Se la funzione è una curva nota (ad esempio una parabola) si individuano gli estremi per via elementare (vertice), altrimenti si procede coi metodi dell'analisi eseguendo la derivata prima e studiandone il segno.

2) Metodo delle linee di livello.

Graficamente si osserva che i punti di massimo o di minimo vincolato si hanno in corrispondenza dei punti (x,y) in cui le linee di livello risultano tangenti alla curva che esprime il vincolo. Il metodo grafico per determinare i massimi e minimi vincolati consiste nell' analizzare l'andamento delle linee di livello ed in particolare se vi sono punti di tangenza tre le linee di livello e l'equazione del vincolo. Se si individuano più valori di k al valore max corrisponde il max, al valore min corrisponde

 

Immagine correlata

 

 

Esempio:     

 

z = x2 + y2                 x + 2y - 4 = 0

 

 

 

1) Esplicitiamo il vincolo rispetto a x   à           x = 4 -2y
Sostituiamo la x nella funzione obiettivo si ottiene, così, una funzione in una sola variabile.          z = (4 -2y)2+ y2      cioè        z = 5y2-16y + 16
Si tratta di una parabola con la concavità rivolta verso l'alto quindi ha min in corrispondenza del vertice:    yV =  -b/a = 8/5  .

Sostituendo   z = 16/5  e  x = 4/5
Per altra via la condizione necessaria per la presenza di estremanti prevede che z' = 0, quindi:
z' =10y-16 = 0   à  y = 8/5 ,  z' > 0  per  y >8/5    perciò min .
                                         

2) Le linee di livello della funzione,   , cioè x2 + y2 = k

sono circonferenze di raggio  e di centro P(0, 0) .

Individuiamo la posizione di tangenza al vincolo x + 2y - 4 = 0 imponendo che la distanza della retta dal centro delle circonferenze sia  uguale al raggio perciò    da cui k = 16/5  .

 

è di minimo vincolato diminuisce: se aumenta si tratta di un massimo vincolato, se diminuisce si tratta di un minimo vincolato.

MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE DI 2 VARIABILI  CON VINCOLI DATI DA DISEQUAZIONI E SISTEMI DI DISEQUAZIONI

(in insieme limitato e chiuso)

 

Si procede  eseguendo i seguenti punti:

 

a) Si determina, attraverso il metodo grafico, la figura piana soluzione del sistema dei vincoli, cioè si risolve il sistema delle disequazioni individuando la regione o area ammissibile.

 

b) Si calcolano i massimi e minimi liberi della funzione  z = f(x,y) che sono dentro la regione ammissibile.

 

c) Si cercano i punti di minimo e di massimo sulla  frontiera. Per far questo si associa  ogni singolo vincolo, trasformato in equazione ,alla funzione z = f(x,y)  , ottenendo altrettanti  problemi di max e min vincolato.

 

d) Si cerca la quota (cioè il valore di z) dei vertici della regione ammissibile e si confronta con quella dei punti trovati prima.

 

e) Si definisce il minimo e massimo assoluto con i risultati ottenuti.

 

N.B. Il teorema di Weierstrass ci garantisce che, se la regione ammissibile è limitata e chiusa,  esistono massimo e minimo assoluto per la funzione che risulta continua.

Esempio:

   z = –x2 –y2 + 4x + 6y              

a) 

Si ottiene un triangolo rettangolo i cui vertici sono: O(0,0) , A(6,0)  ,

     B(0,6) . (Regione ammissibile limitata e chiusa)

 

b) Col metodo delle linee di livello osserviamo che si tratta di una famiglia di circonferenze di centro  C(2,3)  e raggio , k £ 13 . All'aumentare di k si avvicinano sempre di più al punto C(2,3, 13) che risulta quindi essere un max per la funzione.

 

c) Sulla frontiera:

        D(2,0,4)

        E(0,3,9)

      F(5/2, 7/2,25/2)

 

d)  z(O) = 0  ,    z(A) =  – 12  ,     z(B) = 0

 

e) Confrontando il valore di z dei punti ottenuti abbiamo che A è minimo assoluto e C è massimo assoluto.

 


Torna ad INDICE ARGOMENTI classe Quinta AH