Le linee di livello

Costruire il grafico d’una superficie nello spazio è semplice se si ha a disposizione un software adeguato.

Sappiamo che da un grafico si possono ricavare importanti informazioni di tipo qualitativo, tuttavia un grafico non riesce a comunicare informazioni precise sulle coordinate dei punti in cui la

funzione assume il suo valore massimo o il suo valore minimo.

Nelle applicazioni, poi, è sufficiente determinare l’andamento delle linee che si ottengono sezionando la superficie con un piano particolare.

Senz’altro avete visto che, nelle previsioni del tempo che si vedono in televisione, si vede la cartina dell’Europa con disegnate le isobare o le isoterme. Tali linee sono il risultato della sezione d’una

superficie con un piano.

Viceversa, mediante le linee che s’ottengono sezionando una superficie con una serie di piani paralleli fra loro è possibile avere un’immagine della superficie stessa.

Come determinare queste linee?

Consideriamo una funzione d’equazione ed un piano parallelo al piano coordinato xz; sappiamo che un tale piano ha equazione

La linea sezione della superficie data con il piano è la soluzione del sistema

ed è la linea che s’ottiene ponendo la costante k al posto di y nell’equazione della superficie.

L’insieme delle sezioni d’una superficie con piani paralleli ai piani coordinati xz e yz riesce a dare un’immagine tanto più precisa della superficie quanto più numerose sono le sezioni fatte.

Un discorso a parte va fatto per le intersezioni d’una superficie con i piani paralleli al piano xy; sappiamo che tali piani hanno equazione e che l’intersezione fra la superficie data ed il piano è

la soluzione del sistema

Tale linea s’ottiene sostituendo la costante k al posto della variabile z e prende il nome di linea o curva di livello. Essa ha equazione .

Anche la funzione che s’ottiene con una proiezione ortogonale sul piano xy prende lo stesso nome. In sostanza con il nome di linea di livello s’indica sia la curva intersezionale della f (x,y) con il piano,

sia la sua proiezione sul piano xy. Osserviamo che le linee di livello non s’intersecano mai l’una con l’altra.

Determiniamo, ad esempio, le linee di livello della superficie d’equazione

La funzione ha per dominio R² e le sue linee di livello sono le intersezioni con il piano, cioè le equazioni

Osserviamo che, al crescere di k, otteniamo ellissi aventi semiassi di lunghezza crescente.

L’insieme delle linee di livello dà l’immagine della superficie f.

lo studio delle linee di livello ci consentirà d’individuare i punti di massimo e di minimo d’una funzione.

Provate con geogebra 3d

Torna ad INDICE ARGOMENTI classe Quinta AH