Scomposizione mediante le regole dei prodotti notevoli.

Questo tipo di scomposizione consiste nel riconoscere quando un polinomio è lo sviluppo di uno dei prodotti notevoli noti.

In altre parole…

Ecco tutti i casi che possiamo incontrare:

 

Quadrato di un binomio

A² + 2AB+B² = (A+B)²

oppure

A² - 2AB + B² = (A-B)²

 

Differenza di due quadrati                 

A²- B² = (A - B)(A+B)  (detta anche somma per differenza)

 

Cubo di un binomio

A³+ 3A²B + 3AB² + B³  = (A+B)³

^oppure

A³- 3A²B + 3AB² - B³ = (A- B)³

Somma di due cubi                    

A³+ B³ = (A+B) (A²- AB+B²)

Differenza di due cubi

A³- B³ = (A- B) (A²+AB+B²)

 

Quadrato di un trinomio

A²+B²+C²+2AB+2AC+2BC =(A+B+C)²

 

Esempi svolti.                                                        

25x² - 10xy + y²

Osserviamo che il polinomio ha tre termini, quindi potrebbe essere il quadrato di un binomio.

Ci domandiamo se ha due termini che sono dei quadrati di qualche altro monomio

  I termini sono 25x², che è il quadrato di 5x, e y² che è il quadrato di y.

Quindi controlliamo il doppio prodotto tra 5x e y (cioè 2∙5x∙y), per stabilire il segno dei due termini e per vedere se effettivamente corrisponde a -10xy : -10 xy è negativo quindi  il binomio sarà 5x-y.

Perciò  possiamo  concludere   che  25x² - 10xy + y²  = (5x - y) ²

 

2)   36y² - 25x²

Osserviamo che il polinomio è la differenza tra due termini che sono due quadrati (rispettivamente di 6y e 5x), quindi lo scomponiamo nella somma per la differenza delle basi dei quadrati, cioè:

(6y+5x)(6y-5x)

 

ATTENZIONE

3)  -9x²+y²

In questo caso la y² è il primo termine da usare nella formula   A²-B²= (A - B)(A+B)  ;

quindi si ha      -9x²+y² = (y + 3x)(y - 3x)

 

4)   27x⁶ + 54x⁴y + 36x²y² + 8y³

Osserviamo che il polinomio ha quattro termini, quindi potrebbe essere il cubo di un binomio.

 Ci chiediamo  se ci sono i due termini che sono i cubi di qualche altro monomio

 I termini sono 27x⁶, che è il cubo di 3x², e 8y³ che è il cubo di 2y;

quindi calcoliamo…

il triplo prodotto del quadrato di 3x² per 2y:                 3(3x²)²(2y) = 54x⁴y

e il triplo prodotto di 3x² per il quadrato di 2y:              3(3x²)(2y)²=36x²y²

Infine confrontiamo i tripli prodotti appena calcolati con i termini rimanenti del polinomio iniziale, per vedere se effettivamente coincidono e per decidere i segni;

in questo caso sono  tutti positivi quindi si ha che il polinomio di partenza è il cubo del binomio (3x²+2y).

Cioè  la scomposizione del polinomio iniziale è               (3x²+2y)³

 

5)           27a³ + 8b⁶

 Il polinomio ha soltanto due termini, che sono rispettivamente i cubi di 3a e 2b² 

 Si scompone quindi nella somma di due cubi

27a³ + 8b⁶ = (3a+2b)(9a²-6ab²+4b⁴)       

E s e r c i z i .... s v o l t i       

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