ESEMPI SVOLTI DI STUDIO DELLE CONDIZIONI DI ESISTENZA DI UNA FRAZIONE ALGEBRICA

Esempio 1:

Assegnata la frazione algebrica   notiamo che in essa compaiono due variabili e il denominatore è il prodotto delle stesse; la Condizione di Esistenza è

C.E.: ab diverso da 0

Poiché sappiamo che un prodotto è nullo quando uno dei suoi fattori è nullo, affinché il denominatore non si annulli dobbiamo porre a diverso da 0 e b diverso da 0.

C.E.: a diverso da 0 e b diverso da 0

In conclusione  

Esempio 2:

Per la frazione 

Dobbiamo evitare che il denominatore della frazione algebrica sia nullo,

quindi dobbiamo imporre la condizione che sia x² diverso da 0 da cui                            

infatti una potenza è nulla se la base è uguale a zero.

Esempio 3:

Per la frazione

Dobbiamo evitare che il denominatore della frazione algebrica sia nullo,

quindi dobbiamo imporre la condizione che sia 2x + 5 diverso da 0;

per determinare il valore della variabile che dobbiamo escludere cerchiamo per quale valore si ha 2x + 5 = 0.

Risolvendo quindi l’equazione di primo grado

possiamo concludere   

Esempio 4:

Per la frazione

Dobbiamo evitare che il denominatore della frazione algebrica sia nullo,

quindi dobbiamo imporre la condizione che sia x² + 2 diverso da 0 ;

osservando con attenzione l’operazione contenuta nel denominatore ci accorgiamo che è la somma di un quadrato,  mai negativo, con un numero positivo e dunque non può mai risultare uguale a zero.

Nessuna condizione sulla variabile

Potremmo ragionare anche osservando che per rendere nullo il denominatore dovrebbe essere x² = -2 il che è impossibile, perché un numero elevato al quadrato non è mai negativo.

Pertanto concludiamo:

Esempio 5:

Per la frazione

Dobbiamo evitare che il denominatore della frazione algebrica sia nullo,

quindi dobbiamo imporre la condizione che sia x² - 4 diverso da 0 ;

per rendere nullo il denominatore si dovrebbe avere x² = 4

e questo si verifica se x = +2 oppure se x = -2;

ma possiamo anche osservare che il denominatore è una differenza di quadrati e che quindi la condizione di esistenza si può scrivere  

C.E. : (x – 2)×(x + 2) diverso da 0.

Essendo questo un prodotto possiamo ragionare come nell’ esempio 1 e scrivere

C.E. : x – 2 diverso da 0 e  x + 2 diverso da 0    e concludere:

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