ESEMPI DI CRESCITA ESPONENZIALE

Esaminiamo meglio i processi di accrescimento lineare ed esponenziale.

Si dice che una grandezza cresce linearmente quando ad intervalli di tempo uguali corrispondono incrementi uguali.

Ad esempio, è lineare l’incremento dei risparmi di un bambino a cui la mamma, ogni anno, mette da parte un milione di lire: dopo un anno il bambino si troverà con un milione di lire di risparmi, dopo due anni con due milioni, dopo tre anni con tre e così via.

Si dice invece che una grandezza cresce esponenzialmente quando ad intervalli di tempo uguali corrispondono incrementi pari ad una frazione costante del totale.

Se un’altra mamma meno generosa ma più concreta, invece che mettere ogni anno un milione nel salvadanaio del figlio ne avesse messo uno solo ma in banca al tasso di interesse ad esempio del 7% annuo, alla fine dell’anno il bambino avrebbe un milione e settantamila lire. L’anno successivo, l’interesse del 7% verrebbe calcolato su 1.070.000 lire e produrrebbe altre 75.000 lire circa di interesse che si andrebbero ad aggiungere alla somma già posseduta. L’anno ancora successivo l’interesse verrebbe quindi calcolato su una cifra nuovamente più alta. Ora è facile comprendere che quanto maggiore è la somma depositata sul conto tanto più denaro verrà aggiunto ogni anno come interesse; ma quanto più se ne aggiunge tanto più ve ne sarà nel conto l’anno successivo e quindi ancora più se ne aggiungerà come interesse.

La caratteristica delle crescite esponenziali è proprio questa:

più è grande la quantità di cui si dispone, più essa si accresce. Se la quantità è piccola aumenta poco, se è media aumenta moderatamente, se è grande aumenta molto.

I processi di crescita esponenziale sono assai comuni in campo finanziario, in biologia e in tanti altri settori del sapere, dove a volte possono produrre conseguenze sorprendenti.

Un modo per illustrare l’estrema rapidità con la quale una crescita esponenziale porta ad approssimarsi ad un valore prefissato è quella di fare ricorso ad un indovinello per bambini. L’indovinello è il seguente. Immaginiamo di avere un laghetto al centro del quale cresce una ninfea che ogni giorno raddoppia le proprie dimensioni: se la pianta potesse svilupparsi liberamente, dopo 30 giorni coprirebbe completamente il lago soffocando tutte le altre forme di vita. Ora, se si decidesse di tagliare la ninfea quando le sue foglie hanno coperto metà del lago in modo da salvarlo da morte sicura in quale giorno si dovrebbe intervenire? La risposta è al 29° giorno, cioè vi sarebbe un solo giorno di tempo per rimediare ad una situazione che il giorno dopo diventerebbe irreparabile. Il risultato è sorprendente soprattutto se si riflette sul fatto che il 25° giorno era coperto appena poco più del 3% del lago: nelle crescite di tipo esponenziale all’inizio le cose vanno piano poi accelerano in modo impressionante.

La crescita esponenziale viene spesso espressa efficacemente attraverso il cosiddetto “tempo di raddoppiamento”, che è il tempo necessario affinché una grandezza raddoppi il proprio valore (incremento del 100%). Nel caso della ninfea che abbiamo appena esaminato il tempo di raddoppiamento è di un giorno; per la somma di denaro depositata in banca all’interesse del 7% annuo il tempo di raddoppiamento è pari a 10 anni circa.

Secondo i calcoli del Fondo per la popolazione delle Nazioni Unite il 12 ottobre 1999 gli abitanti della Terra sono diventati 6 miliardi. In realtà nessuno li ha contati: il numero è frutto di estrapolazioni statistiche e valutazioni di vario genere e tuttavia non dovrebbe essere molto lontano dal vero. Pertanto, giorno più o giorno meno, ormai ci siamo: gli abitanti del pianeta con l’ingresso nel nuovo millennio hanno raggiunto e superato quota 6 miliardi e si calcola che crescano al ritmo di 1,5% all’anno, cioè ogni anno aumentano di novanta milioni di unità. Si tratta di un numero enorme: basta pensare che se si volesse dare una casa dignitosa ai nuovi arrivi si dovrebbe costruire tutti i giorni una città grande come Trieste.

Se la popolazione mondiale continuasse a salire a questo ritmo, nel 2047 sarebbe il doppio di oggi e fra meno di 700 anni arriverebbe a 150.000 miliardi, cioè vi sarebbe un uomo ogni metro quadrato di superficie terrestre. E' evidente che la popolazione non potrà continuare a crescere a questo ritmo all’infinito perché la Terra è di dimensioni finite e su di essa non può esserci niente che diventa infinitamente grande. La Terra non può quindi produrre alimenti in quantità illimitate né tanto meno ospitare uomini in numero illimitato.

Ora, se volessimo rappresentare con un grafico la crescita della popolazione mondiale di questi ultimi secoli, ponendo sull'asse orizzontale di un piano cartesiano i tempi e su quello verticale il numero degli uomini, scelte opportunamente le unità di misura, si otterrebbe una curva che si innalza quasi verticalmente al passare del tempo. Questo tipo di curva prende il nome di curva esponenziale, o anche, a causa della sua forma, "curva J" ed è la rappresentazione grafica di quello che i matematici chiamano “funzione esponenziale”.

ESEMPI GRAFICI DI FENOMENI A CRESCITA ESPONENZIALE

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