… USANDO UN’ INCOGNITA AUSILIARIA

1)  Risolvere l’equazione esponenziale:

9 × 3 ^{2 x} - 82 × 3 ^x + 9 = 0.

 Posto 3 ^x = y, si ottiene la seguente equazione di 2° grado:

9 y² - 82 y + 9 = 0

le cui soluzioni sono y₁ = 9  e  y₂ = .  Tenuto conto della posizione fatta, si hanno le seguenti equazioni:

3 ^x = 9          Þ x = 2

3 ^x = Þ x = - 2

2)   Risolviamo l'equazione esponenziale:

.

      Osserviamo che:

.

L'equazione assegnata è equivalente a:

      Il denominatore, essendo una funzione esponenziale, non può assumere il valore zero. Possiamo

      moltiplicare per  entrambi i membri, ottenendo:

.

 E' evidente la struttura di equazione algebrica di II grado nell'incognita .

Risolvendo tale equazione (può essere utile introdurre una variabile ausiliaria t = 2^x   per rendere più evidente la natura di equazione di secondo grado) si ha:  t² –6t +8 =0  risolvendo l’equazione di secondo grado si ottiene: t = 2 e t  =4 da cui sostituendo:

   oppure        da cui:

soluzione dell’equazione:        oppure     .

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