1. Determinare il dominio della funzione.

Classifica il tipo di funzione:

a) Se la funzione è razionale intera, il suo dominio è costituito da tutto l' asse reale.

b) Se la funzione è razionale fratta, imponi che il denominatore sia diverso da zero.
NB  I valori della x che annullano il denominatore della funzione non appartengono al suo dominio; per tali punti la funzione non esiste; le rette verticali passanti per questi  punti sono asintoti verticali per la curva.

2. Ricercare l' eventuale intersezione della funzione con l'asse x

Poni a sistema l'equazione della curva con l'equazione dell'asse delle ascisse:  

2bis. Ricercare l' eventuale intersezione della funzione con l'asse y

Poni a sistema l'equazione della curva con l'equazione dell'asse delle ordinate:

3. Studiare il segno della funzione

Studia la disequazione  f(x) >0
Negli intervalli in cui la funzione risulta positiva, il grafico della curva sarà situato sopra l' asse delle ascisse.
Riporta i risultati sul grafico.

4. Studiare con i limiti il comportamento della funzione agli estremi del DOMINIO

IN ALTRE PAROLE

Calcola i limiti, sinistro e destro, della funzione nell'intorno dei punti x_i esclusi dal dominio
e all'infinito

Riporta con un segno grafico il comportamento della curva nell' intorno di tali punti.

5. Ricerca degli eventuali asintoti verticali e orizzontali

    x = c  è asintoto verticale
(finito)  y = l è asintoto orizzontale  

6. Calcolo della derivata prima.

-  Il calcolo della derivata prima serve per determinare gli intervalli in cui la funzione cresce o descresce, e per individuare i probabili punti di massimo e minimo relativi e di flesso a tangente orizzontale.

Studia la disequazione  f’(x)>0. 

Oltre ai punti di massimo e minimo relativo troverai anche, se esistono,  i flessi a tangente orizzontale

7. Calcolo delle ordinate degli eventuali punti di massimo e di minimo relativo

Sostituisci una alla volta le ascisse dei punti di massimo o di minimo nell'equazione della curva e ricava l'ordinata.

8. Studio della concavità e della convessità della funzione calcolando la sua derivata seconda.

Il calcolo della derivata seconda serve per determinare gli intervalli in cui la curva è concava o convessa, e per individuare tutti i probabili punti di flesso.

Studia il segno della derivata seconda:

f’’(x) > 0.

Negli intervalli in cui risulta positiva (f’’(x) > 0), la curva rivolge la concavità verso l'alto (concava), in caso contrario (f’’(x) < 0) verso il basso (convessa).

Le soluzioni di f’’(x) =0 sono le ascisse dei punti in cui la curva cambia la sua concavità, i punti di flesso.

9. Calcolo delle ordinate degli eventuali punti di flesso

Sostituisci una alla volta le ascisse dei punti di flesso nell' equazione della curva e ricava l'ordinata corrispondente.

10. Ricerca degli eventuali asintoti obliqui

Se  non esiste asintoto orizzontale allora si calcolano due limiti:

che fornisce il coefficiente angolare m della retta, e

che fornisce il valore del termine noto q della retta.
Se questi due limiti esistono e sono finiti, allora la retta y = mx + q  è un asintoto obliquo della curva.