L’ ANDAMENTO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE NEL SUO DOMINIO: MASSIMI, MINIMI, FLESSI…COSA SIGNIFICA?

 

            

 

Fino a questo punto del nostro percorso abbiamo imparato ad ottenere alcune informazioni utili per tracciare il grafico di funzioni   y = f(x).

Ricordiamole:

ü Dominio

ü Eventuali punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi cartesiani

ü Segno della funzione

 

Osserviamo che per ottenere tali informazioni non abbiamo avuto bisogno di teorie nuove rispetto a quelle già note dall’ algebra: disuguaglianze, equazioni e disequazioni, sistemi di equazioni.

 

C’è stato poi il momento della determinazione degli eventuali asintoti di una funzione, e qui abbiamo dovuto affrontare il calcolo di alcuni limiti.

 

Quello che ora ci serve per acquisire nuove e significative informazioni sull’ andamento del grafico di una funzione è uno strumento chiamato DERIVATA PRIMA della funzione.

 

DI COSA SI TRATTA?        

 

Ricordiamo qualcosa che riguarda il coefficiente angolare di una retta

                          

 

Abbiamo bisogno di un paio di nuove definizioni:

FUNZIONE CRESCENTE                                FUNZIONE DECRESCENTE

                               ___________   

 

 

Mettiamo insieme le cose dette fin qui… proviamo a ragionare su questa immagine.

 

 

 

Conoscere l’ inclinazione delle quattro rette disegnate, che sono rispettivamente le tangenti al grafico della funzione y = f(x) nei punti x₁, x₂,  x₃ e x₄, vuol dire conoscere il valore del coefficiente angolare di ciascuna di queste rette.

In particolare, per esempio, per quanto riguarda la retta tangente al grafico della funzione nel punto x₂, il coefficiente angolare vale 0, essendo la retta in questione parallela all’ asse x. E possiamo anche notare che, prima del punto x₂ la funzione è crescente, mentre dopo il punto x₂ la funzione diventa decrescente.

 

Se ci fosse un modo per sapere come varia il segno del coefficiente angolare  della tangente al grafico della funzione in ogni punto, potremmo capire quale andamento ha il grafico della funzione.

 

In qualche modo quindi possiamo dire che per sapere dove la funzione risulta crescente o decrescente e dove avviene eventualmente il passaggio da una situazione all’ altra, dobbiamo conoscere come varia il segno del coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione

 

(RICORDA QUELLO CHE HAI LETTO SULLA RETTA POCO FA CLICCANDO SUL LINK ROSSO).

Il tema centrale è quindi quello di riuscire ad esprimere il coefficiente angolare della generica retta tangente al grafico della funzione utilizzando proprio l’ espressione analitica della funzione y = f(x).

 

Quando saremo arrivati al traguardo potremo definire questo nuovo oggetto  come la

 

DERIVATA PRIMA

 

della funzione y = f(x).

 

  Nell’ ultima figura che abbiamo esaminato c’è un simbolo NUOVO, ve ne siete accorti?

 

 

Vi anticipo che questo simbolo indica proprio quello di cui stiamo parlando: la derivata prima.

 

Se abbiamo una funzione  la cui equazione è    , con il simbolo   si indicherà la sua derivata prima…

 

Come si arriva quindi a definire la derivata prima di una data funzione?

                        definizione derivata prima